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Alerte presse CNRS – Paris, le 11 juillet 2017

17 juillet 2017

Faire entrer la surface de la Terre à l’intérieur d’une balle de ping-pong : première image d’une sphère réduite en 3D.

Dans les années 1950, Nicolas Kuiper et le prix Nobel John Nash ont démontré l’existence d’une vaste classe d’objets mathématiques paradoxaux tels que des tores plats en 3D ou des sphères réduites, sans pouvoir toutefois les visualiser.

Une équipe de mathématiciens et d’informaticiens du CNRS, de l’Université Grenoble Alpes et de l’Université Claude Bernard Lyon 1, a réussi à construire et représenter visuellement une sphère réduite, cinq ans après avoir obtenu la première image d’un tore plat en 3D (cf. communiqué de presse).

Les sphères, connues pour être rigides, ne peuvent pas être déformées isométriquement, c’est à dire en préservant les longueurs des courbes, avec une régularité de classe C^2 (pour mémoire, le résultat de John Nash et Nicolas Kuiper montre que ce n’est plus le cas si l’on autorise des déformations moins régulières, de classe C^1).

En se basant sur la théorie mathématique de l’intégration convexe qui est utilisée dans la détermination de solutions atypiques d’équations aux dérivées partielles, les chercheurs sont parvenus à placer une sphère à l’intérieur d’une boule de rayon arbitrairement petit.

Si l’on assimile la surface de la Terre à une sphère ronde, cette théorie permet de réduire son diamètre à celui d’un modèle réduit de globe terrestre ou d’une balle ping-pong tout en préservant les distances géodésiques (rappelons que sur la sphère, la distance géodésique entre deux points est la longueur du plus petit arc de cercle les joignant). La surface obtenue, très déformée, se compose de deux calottes sphériques, parfaitement lisses, connectées par une bande équatoriale fortement déformée.

Fig 1 : Un globe terrestre isométrique

Les chercheurs montrent que ce changement de structure géométrique est similaire à celui observé lorsqu’on relie une courbe de von Koch à un segment de droite(cf. Fig 2).

Fig 2 : Une surface de Von Koch

Ces résultats ouvrent des perspectives inédites en mathématiques appliquées, notamment pour la résolution de certaines équations aux dérivées partielles. Les étonnantes propriétés des fractales lisses pourraient également jouer un rôle central dans l’analyse de la géométrie des formes. Leurs résultats ont été publiés dans la revue Foundations of Computational Mathematics, le 6 juillet 2017.


Pour aller plus loin :
- Dossier de presse
- Sphère réduite en image

Référence  : An explicit isometric reduction of the unit sphere into an arbitrarily small ball. Vangelis Bartzos, Vincent Borrelli, Roland Denis, Francis Lazarus, Damien Rohmer, Boris Thibert, Foundations of Computational Mathematics, 6 juillet 2017.

Crédits photos : © Projet Hévéa (Légende du logo de l’article : Sphère corruguée et sphère unité).

Contacts :
- Vincent Borrelli l Institut Camille Jordan (CNRS/Universités Claude Bernard Lyon 1 et Jean Monnet/Ecole centrale de Lyon/INSA de Lyon) ;
- Francis Lazarus l GIPSA-lab (CNRS/Grenoble-INP/ Université Grenoble Alpes) ;
- Boris Thibert l Laboratoire Jean Kuntzmann (CNRS/Université Grenoble Alpes/Grenoble-INP)

Contact Presse CNRS : Anne-Sophie Boutaud l T. 01 44 96 46 06 l anne-sophie.boutaud cnrs.fr