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Une nouvelle estimation a priori en dynamique des gaz

5 novembre 2017

L’analyse des équations de la théorie des gaz s’appuie sur des égalités reflétant la conservation de quantités physiques (masse, impulsion, énergie totale), ainsi que des inégalités rendant compte de la physique du système étudié. Dans un travail récent, Denis Serre introduit une nouvelle estimation universelle en espace-temps, vérifiée par les solutions de ces équations.

Un gaz en équilibre thermodynamique obéit aux équations d’Euler, qui gouvernent la densité \rho(t,x), la vitesse u, la pression p et l’énergie spécifique e. La loi d’état relie p à \rho et e. Pour un gaz parfait p=(\gamma-1)\rho e\gamma>1 est constant. Les équations expriment les conservations de la masse, la quantité de mouvement et l’énergie :


\partial_t\rho+{\rm div}_x (\rho u) =  0,

\partial_t(\rho u)+{\rm Div}_x (\rho u\otimes u)+\nabla_xp  =  0,

\partial_t(\frac12\rho|u|^2+\rho e)+{\rm div}_x \left((\frac12\rho|u|^2+\rho e+p) u\right) = 0.

Si le gaz est bien localisé, la masse, l’impulsion et l’énergie totales

M=\int_{{\bf R}^3}\rho(t,x)\,dx,\qquad Q=\int_{{\bf R}^3}\rho u\,dx,\qquad E=\int_{{\bf R}^3}(\frac12\rho|u|^2+\rho e)\,dx

ne dépendent donc pas du temps. Une quatrième propriété découle de l’invariance Galiléenne :

\frac{dJ}{dt}=(5-3\gamma)t\int_{{\bf R}^3}\rho e\,dx,\qquad J:=\int_{{\bf R}^3}(\frac12\rho|tu-x|^2+t^2\rho e)\,dx.

Si \gamma=\frac53 (cas d’un gaz monoatomique, tel l’hélium, l’argon), J(t) est indépendant du temps. Pour l’air, \gamma=\frac75, et on a simplement J(t)\le ct^{4/5}.

La dernière information dont on dispose, qui traduit le second principe de la thermodynamique, est la décroissance de la néguentropie, ou entropie négative, quantité que l’on peut comprendre comme un facteur d’organisation du système

S(t)=\int_{{\bf R}^3}\rho((\gamma-1)\log\rho-\log e)\,dx\le S(0).

Hors de l’état d’équilibre, le gaz est décrit par une densité f(t,x,v)v désigne la vitesse des particules. Son évolution est gouvernée par une équation cinétique

\partial_tf+(v\cdot\nabla_x)f=N[f(t,x,\cdot)].

L’opérateur \partial_t+(v\cdot\nabla_x) est celui du transport libre. L’opérateur N, non-linéaire et non-local en v, décrit la manière dont les trajectoires sont modifiées lors des collisions. De son choix dépend le modèle : Boltzmann, BGK ou Broadwell. Tous ont en commun de conserver, eux aussi, les quantités fondamentales : les moments

\rho=\int_{{\bf R}^3}f\,dv,\quad m=\int_{{\bf R}^3}fv\,dv,\quad S=\int_{{\bf R}^3}fv\otimes v\,dv,\quad\varepsilon=\int_{{\bf }R^3}f\frac{|v|^2}2\,dv,\quad r=\int_{{\bf R}^3}f\frac{|v|^2}2v\,dv.

satisfont formellement,

\partial_t\rho+{\rm div}_x q =0,\qquad
\partial_tm+{\rm Div}_x S =0,\qquad
\partial_t\varepsilon+{\rm div}_x r =0.

La masse, l’impulsion et l’énergie totales sont donc constantes au cours du temps, sous des hypotèses raisonnables. L’expression

J=\int_{{\bf R}^3}(t^2\epsilon-tm\cdot x+\frac{|x|^2}2\rho)\,dx

est elle aussi conservée. Le théorème H de Boltzmann donne la décroissance de la néguentropie.

À ces estimations universelles, Denis Serre vient d’en ajouter une nouvelle, comme annoncé dans l’article [6]. Pour un gaz à l’équilibre, cette estimation s’écrit

\int_0^{+\infty}dt\int_{{\bf R}^3}\rho^{1/3}p\,dx\le\sqrt{\frac23}\,\pi^{-2/3}\, M^{1/3}\sqrt{ME-|Q|^2}\,.

Remarquons l’intégrale en espace et en temps, qui fait penser aux inégalités de Strichartz satisfaites par les équations dispersives. En outre le facteur supplémentaire \rho^{1/3} renforce l’intégrabilité, par comparaison avec les estimations de la masse ou l’énergie.

Dans le cas cinétique, l’intégrande \rho^{1/3}p est remplacée par l’expression qui peut paraître étrange

\left(\int^{\otimes4}_{{\bf R}^3}f(v_0)f(v_1)f(v_2)f(v_3)({\rm vol}\,\Sigma(v_0,v_1,v_2,v_3))^2dv_0\,dv_1\,dv_2\,dv_3\right)^{1/3},

\Sigma désigne le tétraèdre de sommets v_0,v_1,v_2,v_3. On observe encore un gain d’intégrabilité, la quantité étant homogène de degré \frac43 en f (la masse et l’énergie étant, elles, linéaires).

Ces deux estimations ont un analogue en toute dimension n\ge1. L’exposant 1/3 devient 1/n et le tétraèdre un simplexe de {\bf R}^n. L’estimation cinétique était connue pour n=1 par J.-M. Bony [1], pour des modèles à vitesses discrètes. Elle avait servi à C. Cercignani [2] pour montrer que la théorie de R. DiPerna & P.-L. Lions [3] donne bien des solutions au sens des distributions de l’équation de Boltzmann. Il ne semble pas que cette idée fonctionne en dimension d\ge2.

La preuve est basée sur l’observation que les lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement s’écrivent sous la forme {\rm Div}_{t,x}T=0, où T est un tenseur à valeurs symétriques positives, de taille d=n+1. Dans ce cadre abstrait, on prouve l’inégalité de type quasi-concavité

\int_\Omega(\det T)^{\frac1{d-1}}dx\,dt\le\frac1{d|S^{d-1}|^\frac1{d-1}}\left(\int_{\partial\Omega}|T\vec n|\,ds\right)^{\frac d{d-1}},

\Omega est convexe, \vec n étant la normale unitaire au bord. On procède par dualité avec l’équation de Monge-Ampère et on utilise des résultats de la théorie du transport optimal ([7] et [5]). Cette inégalité contient en outre l’inégalité isopérimétrique ou l’inégalité de Gagliardo [4]. Enfin, il faut noter qu’une version périodique intervient en homogénéisation elliptique.

Références :

[1] J. M. Bony. Solutions globales bornées pour les modèles discrets de l’équation de Boltzmann en dimension 1 d’espace. Journées EDPs (Saint Jean de Monts), 1987.

[2] C. Cercignani. Global weak solutions of the Boltzmann equation. J. Stat. Phys., 118 (2005), pp 333—342.

[3] R. DiPerna, P.-L. Lions. On the Cauchy problem for the Boltzmann equation : global existence and weak stability results. Annals of Math., 130 (1990), pp 321-366.

[4] E. Gagliardo. Proprietà di alcune di funzioni in più variabili. Ricerche Mat., 7 (1958), pp 102-137.

[5] Yan Yan Li. Some existence results of fully nonlinear elliptic equations of Monge-Ampère type. Comm. Pure & Appl. Math., 43 (1990), pp 233-271.

[6] D. Serre. Divergence-free positive symmetric tensors and fluid dynamics. Preprint

[7] C. Villani. Topics in optimal transportation. Graduate Studies in Mathematics 58, Amer. Math. Society (2003).


Contact : Denis Serre | Unité de Mathématiques Pures et Appliquées | CNRS & ENS Lyon.