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Mathématiques et cryptographie

Le terme cryptographie recouvre un ensemble de méthodes, outils et matériels permettant d’assurer la sécurité des données numériques.

C’est un domaine interdisciplinaire par excellence (voire même transdisciplinaire) qui se situe à la croisée de l’informatique et des mathématiques, mais également du traitement du signal, de la microélectronique, des sciences pour l’ingénieur et des sciences du vivant (avec les aspects biométriques, un domaine de recherche en pleine expansion en cryptographie où se posent également des problèmes de société), et qui a connu ces 20 dernières années un spectaculaire essor. L’interdisciplinarité se joue dans un va-et-vient entre problématiques d’une part, méthodes et outils d’autre part, issus des divers domaines concernés. La cryptographie se pratique de plus avec les acteurs du monde académique, mais aussi des mondes industriel et étatique (agences gouvernementales) avec une grande porosité entre ces trois types d’acteurs.

La cryptographie est un outil essentiel de la sécurité numérique avec des enjeux sociétaux, industriels et économiques importants. En particulier, c’est un outil appelé à jouer un rôle fondamental pour la protection des citoyens (protection de l’identité et des données personnelles), notamment avec l’explosion des réseaux sociaux tels que Facebook ou Twitter. Les méthodes cryptographiques sont couramment utilisés dans l’industrie, les services et les commerces, ce sont notamment ces techniques qui sécurisent le système des cartes bancaires et des achats en lignes. Ce sont aussi des outils essentiels pour la protection de la propriété intellectuelle, d’où leurs utilisations intensives dans le monde du multimédia (audio, vidéo, cinéma, jeux).

La cryptographie consiste, d’une part, dans la conception de primitives cryptographiques (chiffrements, signature numérique, etc) et dans l’élaboration de protocoles combinant ces primitives et permettant l’authentification et la confidentialité, leurs cryptanalyses et enfin le développement de « preuves de sécurité ». Elle inclut d’autre part l’implantation matérielle (e.g., cryptoprocesseur d’une carte à puces) ou logicielle de ces outils cryptographiques..

Le développement de primitives cryptographiques et leurs cryptanalyses font souvent appel à des méthodes mathématiques sophistiquées (géométries arithmétique et algébrique, méthodes p-adiques, géométrie des nombres, outils analytiques, outils cohomologiques, probabilités, mathématiques discrètes). Le développement de modèles de sécurité et de leurs preuves formelles font intervenir la théorie de la complexité mais aussi la théorie des jeux, avec l’automatisation des preuves par jeux dans le cadre de la sécurité prouvée. Au niveau de l’implantation, la nécessité d’avoir des méthodes les moins coûteuses en temps de calcul (rapidité) et/ou de ressources (pour réduire la consommation en énergie) a donné un nouvel essor à l’arithmétique des ordinateurs et l’optimisation des calculs de bas niveaux, et posent aussi des défis en microélectronique afin d’avoir des circuits à la fois efficaces et sécurisés.

Le CNRS a joué un rôle déterminant de structuration pour les communautés concernées via le GDR Informatique Mathématique dont le groupe de travail C2 (codage et cryptographie) joue un rôle d’animation très structurant, et a su accompagner le développement de cette interface à travers divers PEPS (PEPS ST2I, PEPS Mathématiques-Informatique, PEPS Maths Industrie).

Pour en savoir plus :

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Contacts chercheurs :
- Jean-Marc Couveignes, Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR 5219
- Philippe Elbaz-Vincent, Institut Fourier, UMR 5582, Grenoble
- Guillaume Hanrot, ENS / LIP UMR 5668, Lyon