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Régularité et équations de continuité. Du nouveau en mécanique des fluides compressibles.

12 juin 2018

Dans un travail récent, D. Bresch et P.- E. Jabin introduisent une nouvelle méthode d’estimations quantitatives de régularité très faible pour les équations de continuité. Cette méthode leur a déjà permis d’apporter une réponse à deux problèmes ouverts sur les équations de Navier-Stokes compressibles.

Dans l’article [1], D. Bresch et P.- E. Jabin ont développé une nouvelle méthode mathématique pour quantifier au cours du temps une régularité très faible pour des solutions $\phi$ d’équations de continuité, en variable eulérienne, avec champ de vitesse d’advection $u$ non régulier

$\partial_t \phi + {\rm div} \, (\phi u) = 0 \hbox{ sur } (0,T)\times \Omega, \qquad \phi\vert_{t=0}= \phi_0 \hbox{ sur } \Omega$

où $\Omega$ désigne le domaine spatial et $(0,T)$ l’intervalle de temps considéré. Des résultats existaient, en variable lagrangienne [4], sous certaines hypothèses de compressibilité de la vitesse $u$ et de bornes par en dessus et par en dessous de $\phi$ . Le lecteur intéressé est renvoyé au mini-cours à paraître dans [2] qui présente les deux approches. L’idée introduite par D. Bresch et P.- E. Jabin est d’adapter la méthode de doublement de variables à la Kruzkov (voir [9]) en introduisant des poids convenablement choisis au travers d’une équation de transport avec un terme d’amortissement spécifique lié aux inconnues. L’analyse des propriétés de ces poids permet alors d’en connaître l’impact sur la propagation de compacité en espace sur une suite de solutions au travers d’un contrôle non-local dans l’esprit de [3].

Les auteurs ont pu exploiter cette méthode quantitative de régularité dans [1] pour apporter une réponse à deux problèmes ouverts, concernant les équations de Navier-Stokes compressible barotrope. Montrer la stabilité, et donc l’existence de solutions faibles "à la Leray" (à travers la construction de solutions approchées), de solutions pour les équations de Navier-Stokes compressible dans les deux cas suivants :
le cas où la pression n’est pas monotone en la densité : voir 1)
un cas où le tenseur des contraintes est anisotrope : voir 2)
Ces deux cas, importants en terme d’applications (biologie, géophysique par exemple), échappaient à la théorie maintenant classique en dimension d= 2 et 3 de P.-L. Lions, E. Feireisl & al. voir [10], [6], [5]. Voir également [11], [7] et [8] pour le cas en dimension un d’espace ou le cas axisymétrique.

Pour plus de précisions, les deux cas traités sont les suivants.

1) Le cas où la pression n’est pas monotone en la densité.

On considère ici le cas d’un domaine périodique $\Omega = T^d$ avec $d=2,3$ . Le système de Navier-Stokes compressible barotrope s’écrit alors en la densité $\rho$ et le champ de vitesse $u$ :

$\partial_t\rho + {\rm div}(\rho u) = 0$

$\partial_t(\rho u) + {\rm div}(\rho u\otimes u) - \mu \Delta u - (\lambda + \mu) \nabla {\rm div} u + \nabla p(\rho) = 0$

avec $\mu>0$ , $d\lambda + 2\mu>0$ . La loi de pression $p$ est supposée localement lipschitz sur $[0,+\infty)$ avec $p(0)=0$ et telle qu’il existe une constante $0<C<+\infty$ telle que pour $\gamma\ge 3d/(d+2)$ on ait

$C^{-1} \rho^\gamma - C \le p(\rho) \le C \rho^\gamma + C$

et pour tout $s\ge 0$

$|p'(s)| \le C s^{\gamma -1}.$

Pour tout $0<T<+\infty$ , sous hypothèse d’énergie cinétique finie initialement, on obtient alors existence globale de solutions faibles "à la Leray" sur $(0,T)\times \Omega$ . Un cadre plus général peut être considéré quant aux constantes.

2) Un cas où le tenseur des contraintes est anisotrope.

$\partial_t\rho + {\rm div}(\rho u) = 0$

$\partial_t(\rho u) + {\rm div}(\rho u\otimes u) - {\rm div}(A(t)\nabla u) - (\lambda+\mu)\nabla {\rm div} u + \nabla p(\rho)=0$

où $A$ est une matrice $d\times d$ dépendant du temps telle que $A(t) = \mu {\rm Id} + A_1(t)$ et avec $\mu>0$ et $2\mu/d + \lambda - \|A_1(t)\|_{L^\infty} > 0$ . La loi de pression $p$ est localement lipschitz sur $[0,+\infty)$ avec $p(0)=0$ et

$C^{-1} \rho^{\gamma-1} - C \le p'(\rho) \le C \rho^{\gamma-1} + C.$

En supposant

$\gamma > \frac{d}{2} \Bigl[(1+\frac{1}{d}) + \sqrt{1+\frac{1}{d^2}}\Bigr],$

pour tout $0<T<+\infty$ , il existe une constante $C_*>0$ universelle telle que si

$\|A_1(t)\|_\infty \le C_* (2\mu + \lambda).$

et sous hypothèse d’énergie cinétique finie initialement alors on a existence globale de solutions faibles "à la Leray" sur $(0,T)\times \Omega$ pour le système de Navier-Stokes compressible anisotrope.

Références :

[1] D. Bresch, P.- E. Jabin. Global existence of weak solutions for compressible Navier-Stokes equations : Thermodynamically unstable pressure and anisotropic viscous stress tensor. Accepté dans Annals of Math. (2018), 108 p.

[2] D. Bresch, P.- E. Jabin. Quantitative regularity estimates for compressible transport equations. Mini-cours Kácov 2017, à paraître (2018).

[3] J. Bourgain, H. Brézis, P. Mironescu. Another look at Sobolev spaces. Menaldi, José Luis (ed.) et al., Optimal control and partial differential equations. In honour of Professor Alain Bensoussan’s 60th birthday. Proceedings of the conference, Paris, France, December 4, 2000. Amsterdam : IOS Press ; Tokyo : Ohmsha. 439-455 (2001).

[4] G. Crippa, C. De Lellis. Estimates and regularity results for the DiPerna-Lions flow. J. Reine Angew. Math. 616 (2008), 15-46.

[5] E. Feireisl. Compressible Navier-Stokes equations with a non-monotone pressure law. J. Diff Eqs, vol. 184, 1, 97-108, (2002).

[6] E. Feireisl, A. Novotny, H. Petzeltova. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier-Stokes equations. J. Maths Fluid Mech. 3, 359-392, (2001).

[7] D. Hoff. Global existence for 1D, compressible, isentropic Navier-Stokes equations with large initial data. Trans. A.M.S., 303, 1, 169-181, (1987).

[8] S. Jiang, P. Zhang. On spherically symmetric solutions of the compressible isentropic Navier-Stokes equations. Comm. Math. Phys, 559-583, (2001).

[9] S.N. Kruzkov. First order quasilinear equations with several independent variables. Mat. Sb. (N.S.) 81 (123), 1970 228-255.

[10] P.- L. Lions. Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. II : compressible models. Oxford Lect. Ser. Math. Appl. 3 (1998).

[11] D. Serre. Solutions faibles globales des équations de Navier-Stokes pour un fluide compressible. C.R. Acad Sciences 303, 13, 639—642, (1986).

Contacts :

Didier Bresch, Laboratoire de mathématiques (LAMA - CNRS & Université Savoie Mont Blanc).

Pierre-Emmanuel Jabin, Center for Scientific Computation And Mathematical Modeling, CSCAMM et Dept. of Mathematics, University of Maryland, College Park, USA.

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