Dans l’article [1], D. Bresch et P.- E. Jabin ont développé une nouvelle méthode mathématique pour quantifier au cours du temps une régularité très faible pour des solutions d’équations de continuité, en variable eulérienne, avec champ de vitesse d’advection
non régulier




Les auteurs ont pu exploiter cette méthode quantitative de régularité dans [1] pour
apporter une réponse à deux problèmes ouverts, concernant les équations de Navier-Stokes compressible barotrope. Montrer la stabilité, et donc l’existence de solutions faibles "à la Leray" (à travers la construction de solutions approchées), de solutions pour les équations de Navier-Stokes compressible dans les deux cas suivants :
le cas où la pression n’est pas monotone en la densité : voir 1)
un cas où le tenseur des contraintes est anisotrope : voir 2)
Ces deux cas, importants en terme d’applications (biologie, géophysique par exemple), échappaient à la théorie maintenant classique en dimension d= 2 et 3 de P.-L. Lions, E. Feireisl & al. voir [10], [6], [5]. Voir également [11], [7] et [8] pour le cas en dimension un d’espace ou le cas axisymétrique.
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Pour plus de précisions, les deux cas traités sont les suivants.
1) Le cas où la pression n’est pas monotone en la densité.
On considère ici le cas d’un domaine périodique
avec
. Le système de Navier-Stokes compressible barotrope s’écrit alors en la densité
et le champ de vitesse
:










2) Un cas où le tenseur des contraintes est anisotrope.
On considère ici le cas d’un domaine périodique avec
. Le système de Navier-Stokes compressible barotrope s’écrit alors en la densité
et le champ de vitesse
:











Références :
[1] D. Bresch, P.- E. Jabin. Global existence of weak solutions for compressible Navier-Stokes equations : Thermodynamically unstable pressure and anisotropic viscous stress tensor. Accepté dans Annals of Math. (2018), 108 p.
[2] D. Bresch, P.- E. Jabin. Quantitative regularity estimates for compressible transport equations. Mini-cours Kácov 2017, à paraître (2018).
[3] J. Bourgain, H. Brézis, P. Mironescu. Another look at Sobolev spaces. Menaldi, José Luis (ed.) et al., Optimal control and partial differential equations. In honour of Professor Alain Bensoussan’s 60th birthday. Proceedings of the conference, Paris, France, December 4, 2000. Amsterdam : IOS Press ; Tokyo : Ohmsha. 439-455 (2001).
[4] G. Crippa, C. De Lellis. Estimates and regularity results for the DiPerna-Lions flow. J. Reine Angew. Math. 616 (2008), 15-46.
[5] E. Feireisl. Compressible Navier-Stokes equations with a non-monotone pressure law. J. Diff Eqs, vol. 184, 1, 97-108, (2002).
[6] E. Feireisl, A. Novotny, H. Petzeltova. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier-Stokes equations. J. Maths Fluid Mech. 3, 359-392, (2001).
[7] D. Hoff. Global existence for 1D, compressible, isentropic Navier-Stokes equations with large initial data. Trans. A.M.S., 303, 1, 169-181, (1987).
[8] S. Jiang, P. Zhang. On spherically symmetric solutions of the compressible isentropic Navier-Stokes equations. Comm. Math. Phys, 559-583, (2001).
[9] S.N. Kruzkov. First order quasilinear equations with several independent variables. Mat. Sb. (N.S.) 81 (123), 1970 228-255.
[10] P.- L. Lions. Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. II : compressible models. Oxford Lect. Ser. Math. Appl. 3 (1998).
[11] D. Serre. Solutions faibles globales des équations de Navier-Stokes pour un fluide compressible. C.R. Acad Sciences 303, 13, 639—642, (1986).
Contacts :
Didier Bresch, Laboratoire de mathématiques (LAMA - CNRS & Université Savoie Mont Blanc).
Pierre-Emmanuel Jabin, Center for Scientific Computation And Mathematical Modeling, CSCAMM et Dept. of Mathematics, University of Maryland, College Park, USA.