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Les travaux de Viviane Baladi, médaille d’argent CNRS 2019

24 septembre 2019

Viviane Baladi figure parmi les lauréates et lauréats 2019 de la médaille d’argent du CNRS, qui distingue des chercheurs et des chercheuses pour l’originalité, la qualité et l’importance de leurs travaux, reconnus sur le plan national et international.

Viviane Baladi est directrice de recherche au CNRS, affectée au laboratoire de probabilités, statistique et modélisation [1]. Elle a soutenu sa thèse en 1989 à l’Université de Genève puis, après un post-doc à IBM, a été recrutée au CNRS. Elle a passé plusieurs années à l’ETH Zurich, à l’Université de Genève, à l’UMI de Rio de Janeiro (IMPA) puis à l’Université de Copenhague. Elle a été conférencière invitée à l’International Congress of Mathematicians (ICM) en 2014. Elle est soutenue par l’ERC pour son projet SOS Smooth dynamics via Operators, with Singularities depuis 2018, année où elle a aussi été élue membre de l’Academia Europaea.

Ses travaux portent sur les systèmes dynamiques, avec une approche particulière. Par l’étude du spectre d’opérateurs obtenus en faisant agir un système sur des espaces fonctionnels, elle déduit, pour ce système, des propriétés de mélange exponentiel (décroissance exponentielle des corrélations).

Les premiers travaux de Viviane Baladi portent sur l’étude des fonctions zêta dynamiques. Ces fonctions sont construites comme comme séries entières dont les coefficients sont des nombres d’orbites périodiques de période donnée d’un système dynamique, comptées avec des poids. Étendre méromorphiquement cette fonction à des domaines les plus grands possibles donne des informations très fines sur les orbites périodiques. En collaboration avec Gerhard Keller, Viviane Baladi étend méromorphiquement les fonctions zêtas associées à des transformations monotones par morceaux d’un intervalle [2]. Ils montrent aussi que les pôles de ces fonctions zêtas sont reliés aux valeurs propres isolées d’un opérateur de transfert associé. Elle étendra considérablement cette approche avec David Ruelle [3].

Ses travaux sur la stabilité stochastique des systèmes dynamiques, en particulier des applications unimodales (i.e. la célèbre « marche vers le chaos ») ont donné une approche nouvelle sur le sujet. Il s’agit d’introduire une perturbation aléatoire à un système dynamique chaotique instable. Par exemple pour les applications unimodales, une petite perturbation déterministe peut casser la dynamique chaotique, presque toutes les orbites étant alors attirées par une seule orbite périodique. Cependant l’introduction d’une petite dynamique aléatoire peut stabiliser le comportement chaotique de la dynamique.

Pour ces perturbations aléatoires, avec Marcelo Viana, elle montre l’existence d’une unique mesure invariante ergodique absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, et prouve la décroissance exponentielle des corrélations. Pour cela, ils construisent une extension (appelée « tour ») de la chaîne de Markov puis ils analysent le spectre d’un opérateur de Perron-Frobenius modifié pour cette tour [4]. À cette occasion, elle introduit aussi des outils spectraux abstraits qui se sont révélés utiles dans toutes sortes de situations [5].

Une autre question se pose à propos des applications unimodales chaotiques : la question de la réponse linéaire. La dynamique de ces applications est décrite par une unique mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. On s’interroge alors sur la régularité de la dépendance de cette mesure en fonction du paramètre, en particulier sur sa différentiabilité. Dans un travail récent avec Michael Benedicks et Daniel Schellmann [6], elle montre que cette dépendance n’est pas différentiable, mais Hölder continue, apportant une réponse complète à une question de Ruelle. Ce comportement s’oppose à celui de la plupart des systèmes étudiés précédemment, par exemple le cas hyperbolique.

Viviane Baladi a été pionnière dans l’utilisation des espaces de Banach de distributions pour l’étude des propriétés spectrales de l’opérateur de transfert associé à un système dynamique hyperbolique. Pendant longtemps la théorie n’était pas satisfaisante car les espaces utilisés reposaient sur un codage de la dynamique, et ne pouvaient donc tirer parti d’une grande différentiabilité. Après plusieurs approches « à la main » (notamment de Liverani), Baladi a mis en avant l’utilisation d’outils basés sur les opérateurs pseudo-différentiels [7] [8]. Cette approche a mis en valeur des relations inattendues entre l’analyse semi-classique et les systèmes dynamiques hyperboliques (les plus classiques qui soient), révolutionnant le domaine.

Très récemment, Viviane Baladi, en collaboration avec Mark F. Demers & Carlangelo Liverani [9] résout une ancienne conjecture annonçant la décroissance exponentielle des corrélations pour le flot de billard de Sinai à horizon fini. Pour obtenir le mélange exponentiel, on utilise généralement un argument du type de celui de Dolgopyat avec une partition de Markov dénombrable. Mais cette stratégie est difficilement adaptable aux flots de billard dispersifs, à cause du manque drastique de régularité des feuilletages stable/instable faibles. L’une des trouvailles de cet article est que les auteurs ont été capables de contourner cette difficulté en construisant un (faux) feuilletage instable approché pour le flot de billard. Ceci permet d’étendre de façon systématique l’argument d’annulation de Dolgopyat. De plus, ils obtiennent de nouvelles informations sur le spectre du générateur infinitésimal du semi-groupe d’opérateur de transfert correspondant, et développent également de nouveaux outils qui ouvrent la voie vers l’étude d’autres propriétés statistiques du système.

Un article dans Images des mathématiques, De l’algorithme de Google aux billards de Sinaï

Présentation sur le site du CNRS


[1] LPSM, UMR 8001, CNRS, Université de paris et Sorbonne Université

[2] V. Baladi & G. Keller. Zeta functions and transfer operators for piecewise monotone transformations. Commun. Math. Phys. 127, No. 3, 459-477 (1990)

[3] V. Baladi & D.Ruelle. Sharp determinants. Invent. Math. 123, 553-574 (1996)

[4] Viviane Baladi & Marcelo Viana. Strong stochastic stability and rate of mixing for unimodal maps. Ann. scient. Ec. norm. sup., 29:483-517, (1996)

[5] V. Baladi & L.-S. Young. On the spectra of randomly perturbed expanding maps. Comm. Math. Phys. 156:355-385, (1993)

[6] Viviane Baladi, Michael Benedicks & Daniel Schellmann. Whitney-Hölder continuity of the SRB measure for transversal families of smooth unimodal maps. Invent. Math. 201:773-844 (2015)

[7] Viviane Baladi, Anisotropic Sobolev spaces and dynamical transfer operators : C∞foliations, in Algebraic and Topological Dynamics, Contemporary Mathematics, Amer. Math. Society, 123-136 (2005)

[8] Viviane Baladi & Masato Tsujii. Anisotropic Hölder and Sobolev spaces for hyperbolic diffeomorphisms. Ann. Inst. Fourier, 57(1):127-154, (2007)

[9] Viviane Baladi, Mark F. Demers & Carlangelo Liverani. Exponential decay of correlations for finite horizon Sinai billiard flows. Invent. Math. 211:39-177 (2018)